Chọn A

Đáp án A

Kẻ:

M H ⊥ A D ⇒ M H = A H = x 2 2 ⇒ H D = a − x 2 2

Tam giác HND có

H N 2 = D N 2 − 2 D N . H D . c o s 2 N D H ^

= a − x 2 2 2 + x 2 − 2 x a − x 2 2 = 5 2 x 2 − 2 2 a x + a 2

Vì:

M H ⊥ A D ⇒ M H / / A A ' ⇒ M H ⊥ A B C D ⇒ M H ⊥ H N

Tam giác MHN vuông tại H, có  M N 2 = M H 2 + H N 2

= x 2 2 2 + 5 2 x 2 − 2 2 a x + a 2 = 3 x 2 − 2 2 a x + a 2 = 1 3 x − a 2 3 2 + a 2 3 ≥ a 2 3 ⇒ M N ≥ a 3 3 ⇒ M N min = a 3 3

Dấu “=” xảy ra khi  x = a 2 3

Đáp án A

Chọn B

Đáp án B

Gọi G là trung điểm của CD. Cho MN cắt AG tại I. Ta sẽ chứng minh điểm I cố định.

Thật vậy: Kéo dài tia BG cắt tia AD tại P. Qua 2 điểm B và P kẻ các đường thẳng song song với MN, chúng cắt đường thẳng AG lần  lượt ở 2 điểm E và F.

Dễ thấy: \(\Delta\)BGC = \(\Delta\)PGD (g.c.g) => GB = GP (2 cạnh tương ứng) 

=> \(\Delta\)BEG = \(\Delta\)PFG (g.c.g) => GE = GF (2 cạnh tương ứng) => EF = 2.GE

Xét \(\Delta\)PAF có: N thuộc AP; I thuộc AF; IN // PF => \(\frac{AP}{AN}=\frac{AF}{AI}=\frac{AE+EF}{AI}=\frac{AE+2.GE}{AI}\)(ĐL Thales)

Do \(\Delta\)BGC = \(\Delta\)PGD (cmt) nên BC = PD. Mà BC = AD => PD = AD = 1/2 .AP

\(\Rightarrow\frac{2.AD}{AN}=\frac{AE+2.GE}{AI}\). Tương tự: \(\frac{AB}{AM}=\frac{AE}{AI}\)

Do đó: \(\frac{AB}{AM}+\frac{2.AD}{AN}=\frac{2\left(AE+GE\right)}{AI}=\frac{2.AG}{AI}\). Suy ra \(\frac{2.AG}{AI}=4\)(Theo gt)

\(\Rightarrow\frac{AG}{AI}=2\)=> I là trung điểm của AG

Ta thấy: Hbh ABCD cố định có G là trung điểm CD nên AG cố định. Mà I là trung điểm AG nên I cũng cố định.

Lại có: MN đi qua I nên MN luôn đi qua 1 điểm cố định (đpcm).

Đáp án D

Ý tưởng: 1 - MN phải chăng sẽ là hai điểm đặc biệt nào đó

               2 – Khi nhận ra M là trung điểm của BA’ thì ta tiến hành tính toán MN qua điểm A’ bằng cách lấy P thuộc BC’!

Lời giải: Dễ có mặt phẳng (BA’C’) vuông góc với AB’. Do đó để MN là nhỏ nhất thì M là giao của AB’ và BA’, N là điểm thuộc BC’ sao cho góc giữa MN và (A’B’C’D’) là 30 0 . Gọi P là điểm thuộc BC’sao cho A’P cũng hợp với mặt phẳng đáy một góc  30 0 , khi đó MN là đường trung bình của tam giác BA’P nên MN = 1 2 A'P.

Giả sử độ dài đoạn B’H = x, khi đó PH = HC’ =  a – x    (tam giác PC’H vuông cân tại C’), và A'H = 

Theo điều ta đã giả sử ở trên thì góc giữa A’P và (A’B’C’D’) =   30 0 , do đó

Mặt khác ta lại có A'P = (2)

Từ  (1) và (2) ta tính được 

Từ đây ta rút ra được

=> Chọn phương án D.